Cómo desencantar el tesoro escondido empleando un sistema de coordenadas cartesianas

Seleccione la expresión algebraica que relaciona las variables x e y que definen la posición de los puntos P(x, y) que pertenecen al borde del templo y que será el instrumento que permite a Jack desencantar el tesoro.

El cálculo de la distancia entre dos puntos conocidas sus coordenadas es un problema elemental de la geometría analítica y se apoya en otro problema elemental: el calculo de la proyección de un segmento orientado sobre un eje.

Así: Dados los Puntos $A\left(x_1,y_1\right)$ y $B\left(x_2,y_2\right)$. Entonces

a) La proyección del segmento $\overline{AB}$ sobre el eje de las abcisas es:

${\mathrm{pr}}_{\mathrm{ax}}\overline{\mathrm{AB}}=x_2-x_1$

b) La proyección del segmento $\overline{AB}$ sobre el eje de ordenadas es:

${\mathrm{pr}}_{\mathrm{ay}}\overline{\mathrm{AB}}=y_2-y_1$

Y la distancia se calcula aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo ABC.

Así la distancia d será:

Si la expresión matemática que define cualesquiera de los puntos que están en la periferia del templo de Ethos es:

La coordenada del punto C es:

Restringiéndonos a los observables del plano y tomando como unidades de medida:

1. (u) el radio de la circunferencia más pequeña, como la unidad de medida de las longitudes;
2. (a) el arco de la circunferencia más externa, subtendido por el ángulo central de la circunferencia como unidad de medida de los ángulos;

1. Leer y analizar las proposiciones de los tres distractores para concluir que: el distractor a) proporciona valores aproximados, de las proyecciones del punto A sobre los ejes, obtenidos por la simple inspección visual lo cual no parece ofrecer garantía suficiente sobre los valores.
2. El distractor b) expresa los valores como proyección sobre los ejes de coordenadas del segmento $\overline{\mathrm{OA}}$ lo cual es correcto, según la definición de coordenadas y como se muestra en la gráfica

   

3. Para calcular el valor de las proyecciones $x_0$, $y_0$ es necesario considerar el triángulo rectángulo $\Delta O{A}_{x}A$ y aplicar las funciones seno y coseno al ángulo θ en el vértice O.

   

   Así

   $x_0={\mathrm{pr}}_{\mathrm{ox}}\overline{\mathrm{OA}}=\left|\mathrm{OA}\right|\mathrm{Cos}\theta =12\mathrm{Cos}\mathrm{3a}$ , y ,

   $y_0={\mathrm{pr}}_{\mathrm{oy}}\overline{\mathrm{OA}}=\left|\mathrm{OA}\right|S\mathrm{en}\theta =12\mathrm{Sen}\mathrm{3a}$   (I)

   Recordemos que el ángulo se mide con relación a la unidad de medida a que resulta de dividir la circunferencia en 36 partes (arcos) iguales. Es decir θ= 3a.

4. Para calcular los valores del seno y el coseno del ángulo θ= 3a debemos expresarlo en unidades estándar -grados o radianes- y elegimos los grados

   $\mathrm{1°}=\frac{L}{360}$ donde L es la longitud de una circunferencia cualquiera.

   Y de acuerdo a la manera como se definió el patrón de medida a se tiene que:

   $\mathrm{1a}=\frac{L}{\mathrm{36}}$

   Donde L es la longitud de la circunferencia más externa -se dividió en 36 partes (arcos) iguales.

   Así, despejando L e igualando las dos expresiones se tiene:

   $L=\mathrm{36a}=\mathrm{360°}$, entonces, $a=\frac{\mathrm{360°}}{\mathrm{36}}=\mathrm{10°}$

   Por tanto $\theta =\mathrm{3a}=3\times \mathrm{10°}=\mathrm{30°}$

5. Se calcula el seno y el coseno de $\theta =\mathrm{30°}:\mathrm{Sen}\mathrm{30°}=\frac{1}{2}y\mathrm{Cos}\mathrm{30°}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Y se reemplazan en (I) y se obtienen las coordenadas de A: El par ordenado

(10.4, 6)