Tripulando el Apolo XI

Imagina que eres un tripulante del Apolo XI y debes conocer en todo momento los estados de los indicadores de velocidad y distancia del tablero de control.

Supongamos que la distancia que corre el cohete en función del tiempo está dada por la función $D (t) = \frac{1}{5} t^{2}$ , ahora aborda las siguientes consignas:

1. De acuerdo al gráfico determina la distancia que recorre el cohete para los tiempos entre 0 horas y 30 horas según el caso que se propone a continuación:

La razón de cambio media (velocidad media) entre los puntos O y Q es
La razón de cambio media (velocidad media) entre los puntos P y Q es
La razón de cambio media (velocidad media) entre los puntos Q y R es
La razón de cambio media (velocidad media) entre los puntos Q y S es
La razón de cambio media (velocidad media) entre los puntos Q y T es

Si f es la función que modela la gráfica, la razón de cambio media entre el tiempo a y el tiempo b con a<b, está dada por $\frac{f (b) - f (a)}{b - a}$

2. En el ejercicio anterior se realiza un acercamiento de la recta tangente en el punto Q, por medio de rectas secantes, ¿cuál de las siguientes expresiones deberíamos usar para tener mejores aproximaciones de dicha recta tangente en Q?

$\frac{D (20) - D (a)}{10 - a}$ , con a próximo a 10

$\frac{D (10) - D (a)}{10 - a}$ , con a cualquier valor en el dominio

$\frac{20 - D (a)}{10 - a}$ , con a próximo a 10

$\frac{D (10) - D (a)}{10 - a}$ , con a próximo a 10

Observe que el valor de la pendiente de la recta secante es la velocidad media y la aproximación del valor de la pendiente de la recta tangente es la aproximación de la velocidad instantánea. Si dibujas las rectas secantes que pasan por el punto Q y otro punto L sobre la curva, ¿qué sucede con la pendiente de la recta (secante) si el punto L se aproxima a Q?

¡Correcto! Continua a la siguiente pregunta

3. Si se conoce la distancia que se separa el cohete de la tierra y el tiempo que demoró para estar en dicha ubicación, acabamos de ver que es posible calcular velocidades medias (razón de cambio media), pero, ¿será posible con dicha información calcular la velocidad que lleva el cohete en cada instante, es decir la velocidad instantánea (Razón de cambio instantánea)?

Sí, es posible, pero solo en el punto Q, y se calcularía estimando el siguiente límite $lim_{a \to 10} \frac{D (10) - D (a)}{10 - a}$

Sí, es posible en cualquier instante t del dominio, la velocidad instantánea en el tiempo t está dada por el límite $lim_{a \to t} \frac{D (t) - D (a)}{t - a}$

Sí, es posible en cualquier instante t del dominio, la velocidad instantánea en el tiempo t está dada por el limite $lim_{h \to 0} \frac{D (t + h) - D (t)}{h}$

Sí, es posible, pero para saber el valor específico de la velocidad es necesario saber un valor concreto de t donde se quiere calcular

Recuerda que conocemos la función que modela la distancia que recorre el cohete a medida que pasa el tiempo es $D (t) = \frac{1}{5} t^{2}$ . Y ya tienes una expresión que modela la velocidad de cambio media, dada en la formulación de la actividad 1. Ahora, ¿Es posible usar esta información para dar respuesta a la pregunta 3?

¡Correcto! Continua a la siguiente pregunta

4. La expresión que describe la velocidad instantánea (Razón de cambio instantánea) que lleva el cohete es:

$V (t) = t^{2}$

$V (t) = 5 t$

$V (t) = t$

$V (t) = \frac{1}{5} t$

Analiza la respuesta a la pregunta 3 y vuelve a intentar tu escogencia

¡Correcto! Continua a la siguiente pregunta

En el siguiente enunciado se desarrollarán procesos que contribuyen a fortalecer tus conceptos sobre los conjuntos numéricos.

Si la de un cuerpo en cada instante de su está dada por la $D = D (t)$ entonces en los instantes $t$ y $t + h$ sus son y y la velocidad promedio de su desplazamiento durante el tiempo transcurrido, $h$ , es $\overline{v (t)} = \frac{D (t + h) - D (t)}{h}$ . En la formula anterior el tiempo puede ser “grande” (2 horas, 1 hora, 20 minutos, etc) o “pequeño” (un segundo, una milésima de segundo, etc). Sin embargo parece intuitivamente claro que para tener una buena aproximación de la del cuerpo en el $t$ , el valor de $h$ debe ser suficientemente . La precisa de velocidad instantánea $v (t)$ en el instante $t$ requiere el uso del concepto de y es la siguiente:

v (t) = lim_{h \to 0} \frac{D (t + h) - D (t)}{h}

Intuitivamente, esto significa que la diferencia entre la velocidad promedio $\overline{v (t)}$ y su valor límite $v (t)$ puede ser tan pequeña como se quiera, siempre que el tiempo transcurrido $h$ sea suficientemente pequeño.

Afiancemos los conocimientos: en el siguiente texto, tendrás la oportunidad de determinar el concepto aquí trabajado.

Esperábamos que esta actividad te permitiera:

Seleccionar la información relevante y establecer relaciones entre variables en la solución de un problema.
Diseñar planes, estrategias y alternativas para la solución de un problema.
Tener una noción e interpretación geometría de la razón de cambio media y instantánea.

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