El número de oro | El número de oro: entre lo divino y lo humano

"La Geometría tiene dos grandes tesoros: uno de ellos es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de un segmento en media y extrema razón. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo podríamos considerar como una preciosa joya."

El “número dorado” Φ, aparece en construcciones arquitectónicas, obras de arte y está relacionado con numerosos fenómenos físicos y biológicos.

De forma que el cociente entre la longitud del segmento mayor |AB| y la longitud del segmento |AM| sea igual al cociente entre la longitud del segmento |AM| y la del segmento menor |MB|.

O, lo que es equivalente: $\frac{|AB|}{|AM|} = \frac{|AM|}{|MB|}$

Sin importar la longitud del segmento inicial, la igualdad entre cocientes anteriormente descrita se satisface y da origen a un número, que por su presencia en múltiples campos de interés científico y estético se ha denominado “número de oro” o “razón aurea”, “Φ”.

Así: $\frac{|AB|}{|AM|} = \frac{|AM|}{|MB|} = Φ$

Considere que el segmento |AB| tiene longitud 1 y el segmento |AM| tiene longitud x. Entonces, la proporción que debe cumplirse para que el punto M divida al segmento en razón áurea es:

$\frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x} = Φ$

$\frac{1}{x} = \frac{x}{x - 1} = Φ$

$\frac{1}{x} = \frac{x}{1 - x} = Φ$

$\frac{1}{x} = \frac{1 - x}{x} = Φ$

Si se transforma la ecuación anterior en una ecuación cuadrática equivalente, obtenemos la ecuación:

La solución positiva de la ecuación cuadrática del anterior problema es:

$\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

$\frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}$

$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

Recuerda que la ecuación de segundo grado ax²+ bx + c = 0 se resuelve aplicando la fórmula: $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ Ahora, vuelve a intentarlo.

Ya sabemos que $Φ = \frac{1}{x}$ . Con el dato x calculado en la pregunta anterior, podemos concluir que el número de oro es:

$\sqrt{5} - 1$

$\sqrt{5} + 1$

$\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

$\frac{- \sqrt{5} - 1}{2}$

Recuerda que el valor de x que obtuviste fue $x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ . Si Reemplazas ese valor en la expresión $Φ = \frac{1}{x}$ Obtienes: $Φ = \frac{2}{\sqrt{5} - 1}$ Ahora deberás racionalizar la expresión multiplicando el numerador y el denominador por $\sqrt{5} + 1$ . Para saber más sobre el método de racionalización, puedes consultar el siguiente enlace: www.vitutor.com

Los matemáticos han establecido que: Los números «Reales» son constituidos por la unión de números «Racionales» (los que se pueden escribir como una razón entre dos enteros o su parte decimal es finita o periódica) y los números «Irracionales» (los que no son racionales).

Φ es racional, ya que es la suma de $\frac{1}{2}$ que es racional y $\frac{\sqrt{5}}{2}$ que es racional.

Φ es irracional, ya que es la suma de $\frac{1}{2}$ que es irracional y $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ que es irracional.

Φ es racional, ya que es la suma de $\frac{1}{2}$ que es racional y $\frac{\sqrt{5}}{2}$ que es irracional.

Φ es irracional, ya que es la suma de $\frac{1}{2}$ que es racional y $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ que es irracional.

$\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ es irracional porque:
$\sqrt{5}$ es irracional y $\sqrt{5} + 1$ es irracional ¿Por qué? Luego $\frac{1}{2} (\sqrt{5} + 1)$ es irracional ¿Por qué? Finalmente $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ es irracional ¿Por qué?

Despues de la proporción

\frac{| AB |}{| AM |} = \frac{| AM |}{| MB |} = Φ

procedemos a encontrar la del segmento, si sabemos que la medida del segmento es 1. Asi, obtenemos la ,

\frac{1}{x} = \frac{x}{1 - x}

cuya positiva es

x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}

. Luego, como sabemos que

Φ = \frac{1}{x'}

al X, y aplicar el metodo de obtenemos que el número dorado es

\frac{\sqrt{5} + 1}{2}