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Una historia que asombra

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El anterior tablero ilustra la cantidad de granos que corresponde a Sessa por cada casilla, ¿Parece poco cierto? Como ya notaste es una cantidad descomunal, es un claro ejemplo de que las matemáticas hay que tomarselas con calma, “Los encantos de esta ciencia sublime, las matemáticas , sólo se revelan a aquellos que tienen el valor de aproximarse a ella ”

Ahora el problema que se te plantea es el de verificar si efectivamente hay que entregar a Sessa la cantidad de:

18.446.744.073.709.551.615 granos,es decir:

«Dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince.»

Conviene mirar algunos casos particulares y luego tomar una decisión para realizar el cálculo total de una manera que sea muy económica en las operaciones que hay que realizar para calcular suma. Podrás hacer uso de la calculadora.

Escribe en la casilla el número de granos de trigo acumulados en las primeras seis casillas del tablero de ajedrez

     
  

Ahora se trata que deduzcas una expresión general para calcular la suma de los n primeros términos de la sucesión que se nota con el signo Sn. Escribe en cada caso el valor de la suma en la casilla correspondiente:

s1 =   
s1 =   
s1 =   
s1 =   
s1 =   
s1 =   

Para que te hagas una idea de la cantidad de trigo de la que estamos hablando podemos estimar que en un kilo de trigo hay aproximadamente 25.000 granos de trigo (el peso de 1.000 granos de trigo se puede considerar de unos 40 gramos), por lo tanto:

18.446.744.073.709.551.615 granos

  

Escribe en la casilla el número de granos de trigo acumulados en las primeras seis casillas del tablero de ajedrez

La sucesión de granos de trigo de Sessa y las series geométricas

Observe que la suma infinita 1+2+4+8+16+…+ 2n + … posee una característica:

la razón entre dos términos sucesivos permanece constante La razón, que llamaremos r, es en este caso, 2. A las sumas infinitas con la característica de poseer una razón r constante entre dos términos sucesivos se les llama «series geométricas» y son muy útiles para representar ciertas situaciones prácticas -la suma de los granos de trigo en las 64 casillas es una suma cuando n=63 de la serie geométrica que presentamos arriba.

Considere la serie geométrica general

a+ar+ar2 +ar3+…+ arn-1 + … con r≠1

La suma de los n primeros términos llamada suma enésima- se representa de la forma:

Sn=a+ar+ar2 +ar3 +…+ arn-1

¿Cómo calcular Sn?

Pautas para deducir la expresión general de la suma de n términos de la sucesión

Calcular la suma enésima cuando n, el número de sumandos, es pequeño no es problema. Pero si n es muy grande tú mismo has podido comprobar que es muy dispendioso; recuerda la suma de los granos de trigo que se acumula en el tablero de ajedrez. Sin embargo, tú puedes deducir una expresión general, en la cual, para cada valor de n conocido se puede calcular el total de la suma por grande que sea n, sin tener que efectuar la suma adicionando los sumados uno por uno.


Considere la suma enésima:

Sn=a+ar+ar2+ar3 +…+ arn-1; r≠1 (II)

Si piensas en Sn como una incógnita en la ecuación (II), puedes construir otra ecuación multiplicando ambos miembros de (II) por la razón r:

rSn=ra+ar2+ar3+ar4 +…+ arn, (III)

Si a (II) le restas (III), miembro a miembro, obtienes una nueva ecuación en la que podrás despejar la incógnita Sn y, de ésa manera, consigues la expresión que permite calcular Sn para todo número natural n.

Usando lápiz y papel intenta seguir el razonamiento y escribe los resultados. Cuando estés seguro(a) de tener la respuesta correcta haz clic y compara.

Una máquina se compró en $10.000 y se deprecia anualmente a una tasa del 20% de su valor. Determine una expresión para el valor después de n años. Si el valor de desecho es $3.000, la vida efectiva de la máquina (el número de años hasta que su valor depreciado sea menor que su valor de desecho es: