La leyenda del tablero de Ajedrez y los granos de trigo

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Una historia que asombra
Los Nacimientos - Analizando Datos
Clasificando sucesiones
Poniendo a prueba tu ingenio
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Los Nacimientos - Analizando Datos

En la vida cotidiana se nos presentan diversas situaciones en las que aparece el concepto de sucesión.

Una sucesión ecológica

se refiere, a la progresión de un ecosistema mediante sus cambios a través del tiempo (ecosistema de bosques es una sucesión decreciente , el mar de Aral fue desapareciendo sucesivamente),

Las organizaciones financieras multinivel

o también llamadas pirámides piden a cada inversionista traer un número r (tomar el ejemplo con r=2, y formar la pirámide de personas hasta el nivel n=5 en donde ya deben existir 32 clientes para ese nivel, continuar diciendo que para n=26 ya se habrá copado toda la población colombiana) de nuevos clientes que, a su vez, deben repetir el proceso, son algunos ejemplos.

La sucesión de Fibonacci

es una famosa sucesión cuyos términos satisfacen una proporción llamada número de oro o razón áurea que aparece en diferentes elementos de la naturaleza, el arte, la música y la arquitectura

Prediciendo eventos

Observe la secuencia

Si la secuencia de estas figuras se repite indefinidamente

En el lugar 22 se encuentra un(a)

Modelando la Predicción de Eventos

Predecir es un acto mental muy importante en muchas situaciones de la vida y se hace necesario comunicar a otros tales predicciones. Los lenguajes matemáticos permiten elaborar tales comunicaciones para socializar los resultados de la predicción.
En este juego un jugador comunica su estrategia que de seguro le permite predecir la figura que se encuentra en el lugar n, pero tú debes llenar las casillas para que la comunicación quede totalmente explícita

Sea n el número del lugar que ocupa cierta figura. Si n=1 allí se encuentra un cuadrado; si n=2, vemos un círculo, si n=3 se trata de un triángulo. Si n=3 es el número del lugar de la figura y ellas se repiten en el orden ya dicho, entonces existen q y r tal que: =3 + r.
si r= , a figura es un triángulo; r= , la figura es un cuadrado; r= , la figura es una circunferencia

Leyendo e interpretando enunciados matemáticos

Los matemáticos entienden por sucesión (o progresión) numérica un conjunto de números ordenados, dispuestos entre sí por una ley de formación o patrón de recurrencia. A cada uno de estos números los llaman términos de la sucesión, así: a₁ es el primer término, a₂ es el segundo término, a₃ es el tercer término... an es el enésimo término. El signo an representa el término de la sucesión que se obtiene al sustituir el número n en la ley de formación de la sucesión. En función del número de términos que tengan, las sucesiones pueden ser finitas o infinitas.

Considere el conjunto {1, 2, 4, 8, …, an, … } y seleccione la opción que representa el termino

$a_{n} = 2^{n-1}$

$a_{n} = 3^{n+1}$

$a_{n} = 2^{n+1}$

$a_{n} = 1^{n-1}$

Incorrecto

Correcto

El término enésimo de una progresión llamada aritmética

Sea P una cantidad de dinero invertida a una tasa de interés anual del R por ciento. En un año, la cantidad de interés ganada está dado por

I = R

100

Si la inversión es a interés simple, entonces en años sucesivos, el interés sólo se paga sobre el capital P y no sobre los montos de interés generados. Así, después de un año, el valor total es P+I, después de dos años es P+2I; y así sucesivamente.

¿Qué tipo de sucesión modela esta forma de inversión?

¡Descubriendo sucesiones aritméticas!

Supongamos ahora que no conocemos el primer término a1 de la sucesión aritmética, sino dos términos cualesquiera am y ak con m < k ¿Será posible encontrar el término general an de la sucesión sólo con ésta información?

Realiza la siguiente actividad:
El cuarto término de una progresión aritmética es a₄=10 y el sexto término es a₆=16. La diferencia d y el primer término a₁ de la sucesión son, respectivamente:

d=1 y a₁=2

d=3 y a₁=2

d=3 y a₁=1

d=1 y a₁=3

Incorrecto

Correcto

Sumando términos de una sucesión aritmética

Los primeros n términos de una sucesión aritmética se pueden sumar y ésta suma se puede determinar mediante una fórmula. La siguiente historia del matemático Carl Friedrich Gauss cuando apenas tenía diez años nos puede ayudar con este propósito:

Gauss había deducido, para un caso particular, una forma de obtener el total la suma de los 100 primeros números naturales. Si llamamos Sn a la suma de los n primeros números naturales ¿cómo le indicarías a otra persona la manera de obtener S_n?

Considere el conjunto {1, 2, n } y completa en la casilla los signos que creas permiten comunicar la manera de obtener S_n

S_n=

( n + 1 )

¡Descubriendo sucesiones aritméticas!

Como puedes comprobar la sucesión de números naturales constituye una sucesión aritmética infinita de diferencia d=1 y primer término a₁ = 1. Un chico comentó que era posible generalizar el proceso que inventó Gauss, para calcular la suma de los primeros 100 números naturales, a cualesquier serie aritmética si se conoce el primer término a ₁ y la diferencia d. Es decir dada una serie de la forma:

a₁+(a₁+d)+(a₁+2d)+(a₁+3d)+,,,+(a₁+(n-1)d).+,,,

Tu reto es encontrar una expresión general para calcular el valor S_n de la suma de los n primeros términos:

s_n=a₁+(a₁+d)+(a₁+2d)+,,,+(a₁+(n-3)d)+(a₁+(n-2)d)+(a₁+(n-1)d)

Toma lápiz y papel y apoyándote en el proceso que inventó Gauss trata de construir una expresión para calcular la suma de los n primeros términos -la suma enésima, S_n - si se conoce n, a₁ y d.
Cuando estés seguro(a) de tener la respuesta correcta haz clic y compara

$S_{n} = \frac{{2 a}_{1} + (n - 1)d}{n} d$

$S_{n} = \frac{a_{1} + (n - 1)d}{2} n$

$S_{n} = \frac{a_{1} + (n - 1)d}{n} 2$

$S_{n} = \frac{{2 a}_{1} + (n - 1)d}{2} n$

Ninguna

Incorrecto

Correcto

Pago de préstamos

Considere el préstamo del banco al Sr Muñoz por $5.000 a un interés anual del 1%. Cada mes paga $200 al capital más el interés mensual del balance pendiente. ¿Cuánto deberá pagar en total en el tiempo que está pagando el préstamo?

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